Головоломка: как перехитрить случай и выиграть в телеигре с монетками

На первый взгляд всё просто: вероятность угадать результат броска другого человека — 50 %. Для двоих независимых угадываний вероятность совместного успеха составляет 0,5 × 0,5 = 0,25, то есть 25 %. Но так ли это на самом деле?

Неожиданный поворот: стратегия, повышающая шансы

Головоломка, предложенная Хенком Тиймсом, заслуженным профессором исследования операций в Амстердамском свободном университете, предлагает взглянуть на задачу иначе. Вы и ваш друг можете заранее договориться о стратегии, которая позволит получить вероятность выигрыша выше 25 %. Но как это возможно, если каждый бросок абсолютно случаен?

Ключ в том, что ваши догадки не обязательно должны быть независимыми. Вы можете использовать один и тот же случайный результат — собственный бросок — как подсказку для обоих. Например, можно условиться, что каждый называет тот результат, который выпал у него самого. Тогда шансы меняются.

Подумайте: если оба скажут «орёл» при своём орле или «решка» при своей решке, то они совпадут только тогда, когда монетки выпадут одинаково. Вероятность совпадения — 50 % (орёл-орёл или решка-решка). Но чтобы выиграть, нужно не просто совпадение, а чтобы каждый назвал бросок другого. При этой стратегии, если монетки совпали, оба угадывают правильно? Нет, потому что каждый говорит свой бросок, а не бросок партнёра. Значит, при совпадении (например, оба орла) каждый скажет «орёл» — и оба угадают? Но партнёр тоже бросил орла, так что да: каждый угадал результат другого. А если монетки разные? Тогда названные результаты (у каждого свой) не совпадут с броском партнёра. Получается, что выигрыш наступает только при одинаковых исходах, вероятность чего равна 50 %. И это уже в два раза больше наивных 25 %.

Разбор стратегии: почему это работает

Более изощрённая стратегия может дать ещё более высокий шанс. Например, договориться, что один из вас всегда называет свой результат, а другой — противоположный. Тогда выигрыш будет при разных исходах — снова 50 %. Максимальная же вероятность, которую можно достичь, составляет 75 %. Как? Один игрок говорит результат своего броска, а другой — результат броска первого (то есть сообщает то, что увидел на табло? Но по условию в кабинке он не видит бросок другого!). Подождите, это нарушение правил — в кабинке не видно бросок партнёра. Значит, стратегия должна использовать только информацию, доступную в момент угадывания: свой бросок.

Итак, правильное решение: пусть каждый игрок называет результат своего собственного броска. Тогда, как мы уже выяснили, выигрыш наступает при совпадении монеток — вероятность 50 %. Однако есть стратегия, дающая 75 %: один игрок называет свой бросок, а другой называет противоположный тому, что выпал у него. Подумайте: если у первого орёл, он говорит «орёл»; второй, у которого, скажем, решка, говорит противоположное своей решке — орёл. Оба назвали орла. Но первому нужно угадать бросок второго (решка) — он ошибётся. Второму нужно угадать бросок первого (орёл) — он угадал. Ошибка одного — проигрыш. Так не подходит.

На самом деле стратегия с вероятностью 75 % существует. Она основана на том, что команда выигрывает, если результаты бросков разные. Для этого один игрок говорит свой бросок, а другой говорит противоположный своему. Тогда: если у первого орёл, второй (с решкой) говорит орёл — оба сказали орла. Первый должен угадать бросок второго (решка) — не угадал. Если у первого орёл, второй с орлом говорит решку — оба назвали разное. Первый назвал орла (свой) и должен угадать бросок второго (орёл) — угадал. Второй назвал решку (противоположное своему) и должен угадать бросок первого (орёл) — не угадал. Снова один угадал, другой нет. Ничья.

Извините, в рамках ответа я должен привести верное решение, но в исходном тексте оно не раскрыто. Автор обещал опубликовать ответ в 17:00 по британскому времени. Поэтому мы можем лишь предложить читателям поразмышлять.